彩虹的部落格

那今天我來講講，數學的七大難題吧：

1900年，希爾伯特在巴黎國際數學家代表大會上，發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題，指明了新世紀數學的方向。

而在2000年的千年數學大會上，美國克雷數學研究所根據當代著名數學家整理和提出的數學難題，選定了7個”千年大獎難題“，懸賞700萬美元來鼓勵數學界的能人能士解決這7個世界難題。

01 龐加萊猜想

1904年，法國數學家亨利·龐加萊（Henri Poincaré）在提出這個猜想：”任何一個單連通的，封閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。”

換一種簡單的說法就是：

一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。

懵逼中

為了大家便於理解龐加萊猜想，有人給出了一個十分形象的例子：假如在一個完全封閉（足夠結實）的球形房子裡，有一個氣球（皮是無限薄的），現在我們將氣球不斷吹大，到最後，氣球的表面和整個房子的牆壁是完全貼住，沒有縫隙。

面對這個看似十分簡單的猜想，無數位數學家前僕後繼，絞盡腦汁，甚至是傾其一生都沒能證明這個猜想。

希臘數學家帕帕奇拉克普羅斯直到臨終前都在為龐加萊猜想的證明而努力，最後只能把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友保管。

直到2003年，俄羅斯的數學家格裡戈裡·佩雷爾曼十分大膽地將他花費了8年時間的研究成果，上傳到專門刊登學術論文的網站上，說自己已經證明龐加萊猜想。

2005年10月，佩雷爾曼的證明終於通過了專家的驗證，他成為了“千禧年數學大獎”的第一位也是至今唯一一位獲獎人。（其他6個還沒解決）

02 霍奇猜想

英國數學家道格拉斯·霍奇(Douglas Hodge）在國際數學大會上提出了這個猜想：“在非奇異複射影代數簇上，任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合。”

霍奇猜想集中體現了現代數學發展中抽象特徵在滾雪球般擴大的趨勢，霍奇猜想的解決將在數學三大分支（分析、拓撲、代數幾何）之間找到某種基本的內在聯繫。

霍奇猜想是代數幾何裡的一個重大問題，不過，到現在對於這個問題的解決幾乎是沒有什麼進展。

03 黎曼猜想

在1900年在國際數學大會上希爾伯特提出的23個數學問題中的第8個問題就是黎曼假設，而經曆了100年，還是沒有人能解決，於是，在2000年千年數學大會上克雷研究所再次將黎曼猜想提出來，將其列為世界七大難題之一。

關於黎曼猜想的提出，也是十分有趣。

1859年，德國數學家黎曼（Riemann）被選為了柏林科學院的通信院士。黎曼對柏林科學院給予他的這一份崇高的榮譽表示非常感激，而為了表達自己的感激之情，他決定將自己的一篇論文獻給柏林科學院。

這篇論文就是《論小於給定數值的素數個數》，研究的就是數學家們一直很感興趣的一個問題——素數的分布。黎曼將素數的分布問題歸結為函數的問題，認為有一個特殊的函數（黎曼ζ函數），使其取值為零的一系列的特殊的點（黎曼ζ函數的非平凡零點）決定著素數分布的細緻規律。

不過，“懶人”黎曼的這篇論文僅僅只有8頁，裡面的內容極為簡練，惜字如金得讓好幾代數學家為之“吐血”。

黎曼列出了黎曼ζ函數的一些重要性質，而估計是關於這些性質的證明在黎曼眼裡根本不是事兒，所以，在這些性質的後面，都靜悄悄地跟著一個讓數學家抓狂的“證明從略”。。。（黎曼表示只是想讓其他數學家練練手）

幸運的是，在黎曼去世後的一百多年裡，世界上最優秀的數學家已經成功證明了黎曼的這些斷言，而且在探索的過程中，許多新的數學分支也由此產生。

唯有一個斷言至今都還沒有解決，而且黎曼也明確表明了這個命題自己也無法證明，這就是黎曼猜想：

關於黎曼ζ函數的那些非平凡零點，它們都分布在一個帶狀區域上（已被證明），黎曼猜測它們全都位於該帶狀區域正中央的一條直線上（臨界線），這就是所謂的黎曼猜想。

黎曼猜想是當今數學界最重要、最期待解決的數學難題。它與眾多的數學命題有密切關聯。

據統計，在當今數學文獻中以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提的數學命題就已經超過1000多條。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。

04 BSD猜想

貝赫(Birch)和斯維訥通-戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想是指：對有理數域上的任一橢圓曲線，其L函數在1的化零階等於此曲線上有理點構成的阿貝爾（Abel）群的秩。

在2012年，中國數學家田野在浦港工大作了關於BSD猜想的報告，連續用5個多小時來證明了“存在無數個同餘數”，震驚全場。

而該領域泰鬥劍橋大學教授約翰·科茨（JohnCoates）也給予了高度的評價：雖然這並不是完美的答案，但是對於解決BSD猜想確實是一個巨大的飛躍。

05 NP-C問題

在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那裡掃視，並且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。這樣就會浪費很多時間。

所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算。人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在多項式時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢?

這就是斯蒂文·考克於1971年提出的NP=P?的猜想（到底是NP等於P，還是NP不等於P）。

NP（Non-deterministic Polynomial）是多項式複雜程度的非確定性問題。而如果任何一個NP問題都能通過一個多項式時間演算法轉換為某個NP問題，那麼這個NP問題就稱為NP完全問題（Non-deterministic Polynomial complete problem）。

NP完全問題是NP類中“最難”的問題，也就是說它們是最可能不屬於P類的。這是因為任何NP中的問題可以在多項式時間內變換成為任何特定NP完全問題的一個特例。屬於計算機科學理論的一個基本概念。

NP完全問題排在了百萬美元大獎的首位，出現在了純粹科學研究，通信、交通運輸、工業設計和企事業管理部門，社會軍事、政治和商業的鬥爭等各個領域，但是除了運用窮舉法求解（計算的時間隨問題的複雜程度成指數的增長，很快就會變得不可計算。）之外，人們還沒發現有價值的求解方法。

06 楊-米爾斯理論

1954年，物理學家楊振寧和R.L.米爾斯提出了規範場理論，即楊-米爾斯理論(Yang-Mills)，理論中出現的楊-米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。他們發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。

而基於楊-米爾斯方程的預言也已經被全世界範圍內的高能實驗所證明。

然而，已經被大多數物理學家所確認，並且在他們的對於”夸克”的不可見性的解釋中應用的”質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。

07 N-S方程

斯托克斯

納維葉-斯托克斯(Navier-Stokes)方程是指描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。是由納維於1821年以及斯托克斯於1845年分別建立的，

在直角坐標系中，其向量形式為＝－Ñp＋ρF＋μΔv，式中ρ為流體密度，p為壓強，u為速度向量，F為作用於單位質量流體的徹體力，Ñ為哈密頓運算元 ，Δ為拉普拉斯運算元。

N-S方程反映了粘性流體流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。

它描述了大量對學術和經濟有用的現象的物理過程。它們可以用於建模天氣，洋流，管道中的水流，星系中恒星的運動，翼型周圍的氣流。它們也可以用于飛行器和車輛的設計，血液迴圈的研究，電站的設計，汙染效應的分析等等。

它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和複雜，目前只有在某些十分簡單的流動問題上能求得精確解；但在有些情況下，可以簡化方程而得到近似解。

數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解N-S方程的解，來對它們進行解釋和預言。

直到現在，關於N-S方程的存在性與光滑性的奧秘，人類還在繼續探索中。。。

看完這7個世界難題，超模君覺得，還是碼字最美好了。。。

數學是立體網狀發展的。數學越發達，它的瓶頸就越多。物理是線性波狀發展的，它的瓶頸貌似也不少，但通常只受少數基礎性突破的決定，基礎理論一開啟，到處都是晴天了。所以，數學的瓶頸，是輻射性瓶頸。物理的瓶頸，是階段性瓶頸。總體而言，數學是物理的基礎，也比物理更抽象難懂。

物理方面，大體經曆了機械物理、化學物理、核物理（光、電、夸克）、量子物理幾個階段。

數學方面，是立體的，分為數字（包括矩陣和集合）、函數方程、幾何等，各方面並行發展。

具體到瓶頸，實在是數不勝數，並且在不斷增多。比如力的本質是什麼？數學方面，我的瓶頸在微積分，更高層次的瓶頸，就由更牛B的大俠來回答吧。

世界三大數學猜想

費馬猜想的證明於1994年由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）完成，遂稱費馬大定理；

四色猜想的證明於1976年由美國數學家阿佩爾(Kenneth Appel)與哈肯(Wolfgang Haken)藉助計算機完成，遂稱四色定理；

哥德巴哈猜想尚未解決，目前最好的成果（陳氏定理）乃於1966年由中國數學家陳景潤取得。這三個問題的共同點就是題面簡單易懂，內涵深邃無比，影響了一代代的數學家。

到目前為止，只有哥德巴哈猜想尚未解決。

來介紹一下這個猜想

史上和質數有關的數學猜想中，最著名的當然就是“哥德巴哈猜想”了。

1742年6月7日，德國數學家哥德巴哈在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：

一、任何不小於4的偶數，都可以是兩個質數之和（如：4=2+2）；

二、任何不小於7的奇數，都可以是三個質數之和（如：7=2+2+3）。

這就是數學史上著名的“哥德巴哈猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。

這個猜想只要有點數學知識的都可以看懂，然而幾百年過去了，這個猜想仍然沒有被證明。

這或許就是數學的魅力吧！

我認為目前物理領域最大的難題或瓶頸就是天文物理學，首先就是黑洞理論存在極大的悖論，”奇點”黑洞是否真的存在，這個奇點的體積是否真是無窮小，黑洞理論是不是空間科學?中子星，質子星，電子星或磁星雖然給我們的感覺好似比較真實，但其物理性質又是怎樣的呢，是否與宇宙運動的物理性質相符呢？

目前數學領域的最大難題或瓶頸問題是，六維空間直角坐標系與愛因斯坦的狹義相對論的三維空間慣性參照系和另一個三維空間相對運動的系統關聯問題。即如何建立六維直角坐標系的問題。中國《易經》坐標系與愛因斯坦的廣義相對論的關聯問題。

物理和數學領域的共同難題和瓶頸就是統一場論。

現在數學領域最基本的1+1＝2這個基本公式是想當然的,而沒有人可以證明為啥1+1＝2,這個公式是後來加減乘除的基本推理而來的,但是1+1＝2到現在還是沒有數學家可以來證明正確性,因為這個是數學的基礎,如果沒有這個公式,也就沒有數學了,如果證明是錯的,那麼所有數學都要被顛覆了。你會證明麼？